Livraison express

Une entreprise de livraison express propose un service de colis urgents. Plus le nombre de colis livrés par trajet diminue, plus le coût unitaire (en euro) pour chaque colis augmente. Ce phénomène est modélisé par la fonction suivante : \(C(n)=\frac{120}n+3\) avec \(n∈[1;30]\) et définie pour tout \(n ≠ 0\) où :

• \(C(n)\) est le coût unitaire par colis (en euro) ;
• \(n\) est le nombre de colis transportés.

Problématique : combien de colis faut-il livrer en une tournée pour que le coût unitaire soit inférieur à 10 euros ?

1. Que représente \(n\) dans cette situation ?

2. Que représente \(C(n)\) ? Quelle est son unité ?

3. Calculer \(C(1)\), \(C(10)\) et \(C(30)\). Interpréter les résultats par rapport au contexte.

Pour la suite de l'exercice, on va utiliser la modélisation suivante : \(C(x)=\frac{120}x+3\) avec \(x∈[1;30]\) et définie pour tout \(x ≠ 0\) qui peut s'écrire : \(C(x)=120\times \frac1x+3\).

4. Aller sur GeoGebra et tracer la fonction \(C\). En observant la représentation graphique, expliquer la notion de fonction \(C\) définie pour tout \(x ≠ 0\).

5. Taper la commande "dérivée(fonction)" puis saisir \(f\) à la place de (fonction). Quelle est la fonction dérivée de \(f\) ?

6. Où se situe la courbe représentative de \(f'\)dans le graphique ? En déduire le signe de la dérivée de la fonction \(f\) pour tout \(x∈[1;30]\).

7. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) et vérifier la cohérence des résultats obtenus à la question 3.

8. Résoudre graphiquement à l'aide de GeoGebra l'inéquation \(f(x) < 10\).

Coup de pouce : une perle est là pour vous aider si besoin !

9. Interpréter le résultat obtenu en arrondissant le résultat à l'unité supérieure.

10. Répondre à la problématique.